周期函数展开为正弦级数的原理

即傅里叶展开。简单地说就是把复杂的周期运动转化为许多不同频率的简谐振动的叠加。工学上这又叫谐波分析。

具体数学原理较长，涉及微积分收敛性讨论。你可以去查书。现在只把可展开的充分条件给出，可以条件是很低的：
1.函数在一个周期内只有有限个第一类间断点
2.一个周期内只有有限个极值点
符合这个要求的就可以展开

三角函数系的正交性和其满足y''=-y的特殊性==.

这个要从傅里叶级数说起了

周期函数f(x)为奇函数时，其傅里叶基数是正弦级数。

an=1/L∫(-L~L)f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2...)

bn=1/L∫(-L~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)

当f（x）是奇函数的时候f(x)cos(nπx/L)是奇函数，而且它的定义域关于y轴对称，所以此时an=0，f(x)sin(nπx/L)此时为偶函数

bn=1/L∫(-L~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)
=2/L∫(0~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)

f(x)~∑bnsin(nπx/L)

即为正弦级数