把我解决一道数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 04:37:56
f(x)是定义在R上的偶函数。对任意的X∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立。若f(1)=2，则f(2009)等于______
谢啦。帮忙解下

f(2009)等于__2____
解：因为f(x+4)=f(x)+2 那么f(-2+4)=f(-2)+f(2) 则f(2)=f(-2)+f(2) 又因为f(x)为偶函数，即f(x)=f(-x) 则f(-2)=f(2) 那么可以解得f(2)=0 所以f(x+4)=f(x) 即函数f(x)一个最小正周期为4的周期函数，所以f(2009)=f(1)=2
(即f(2009)=f(2005)=f(2001)=……f（1） （2009-1）/4=502 即f(2009)经过502次变换即可得到f（1）).

当X=-2时，可得f(x+4)=f(x)+f(2)中f(-2)=0=-f(2) f(2)=0
f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(2009)=f(2005)+f(2)=f(2005)=.....
......=f(1)=2

解答：
令x=-2，带入有：
f（2）=f（-2）+f（2），∵f（x）为偶函数
∴f（-2）=f（2）
∴f（2）=0
∴f(x+4)=f(x)，即f（x）以4为周期
f(2009）=f（1+2008）=f（1）=2