lim(n→∞) （1-1/n)^n

(1 - 1/n)^n
= ((n - 1)/n)^n
= (n-1)/n · ((n - 1)/n)^(n-1)
= (n-1)/n · 1/(n/(n-1))^(n-1)
= (n-1)/n · 1/(1 + 1/(n-1))^(n-1)

lim(n-1)/n = 1
lim(1 + 1/(n-1))^(n-1) = lim(1 + 1/n)^n = e

所以
lim(1 - 1/n)^n = 1/e

至于lim(1 + 1/n)^n = e，实际上是欧拉常数e最为常用的一种定义，当然不同的定义之间可以互相证明。

微积分里面讲到数列极限肯定至少有一节在讲lim(1 + 1/n)^n的极限存在，并探讨它的范围。