初三数学世纪难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 14:38:11
如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D为斜边BC边上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求线段EF的长

连接AD，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
AD=BD=CD再证三角形ADE全等于三角形CDF
DE=DF CF=AE 所以AB=AC=AE+BE=12+5=17
在三角形AEF中AE=5 AF=12
据勾股EF=13

将△CDF以D为旋转中心旋转180度,这样CD与BD重合,F落在F'

因为∠EDF=∠EDF'=90度
ED=ED
DF=DF'
所以△DEF≌△DEF'

因为∠B=∠C=45度
所以∠ABF'=90度
在Rt△EBF'中
BE=12
BF'=CF=5
所以EF'=13

又因为△DEF≌△DEF'
所以EF=EF'=13

设AB=AC=x
由AE^2+AF^2=EF^2可列方程
(x-12)^2+(a-5)^2=13^2
解得x=17
所以AE=5,AF=12

S△DEF=(S△ABC-S△AEF-S△BEF)÷2
=42.25