(追加50分）关于极限的几个问题。

1.论断错误。
limXn=A可以推出lim|Xn|=|A|，因为||Xn|-|A||<=|Xn-A|-->0
反之不一定，如{Xn}={1,-1,1,-1,…}
lim|Xn|=1，但limXn不存在

2.
1）对任意eps>0,取N=1/eps^2，当n>N时
|cosn/sqrt(n)|<=1/sqrt(n)<1/sqrt(1/eps^2)=eps
故limcosn/sqrt(n)=0

2)对任意eps>0，取N=(pi/(2eps))^2，n>N时
|n^(3/2)arctann/(1+n^2)|<=(n^(3/2)pi/2)/(1+n^2)
<=pi/2*n^(3/2)/n^2=pi/2/sqrt(n)<pi/2/(pi/(2eps))=eps

3)n!/n^n<1/n
对任意eps>0，取N=1/eps，n>N时，n!/n^n<eps

3
1) 1-1/n^2=(n-1)(n+1)/n^2
(1-1/2^2)*…*(1-1/n^2)=(1*3/2^2)(2*4/3^2)…((n-1)(n+1)/n^2)
=(n-1)!*((n+1)!/2)/(n!)^2=(n+1)/(2n)--->1/2

2) sqrt(n^2+n)-n=n/(sqrt(n^2+n)+n)=1/(sqrt(1+1/n)+1)--->1/2

字太小了，我怕拿个显微镜都看不清楚