漏斗的数学问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 16:45:50
从半径为R的圆形铁片里剪去一个扇形，然后把余下部分卷成一个圆锥形漏斗，要使漏斗有最大容积，剪去的扇形的圆心角度为多大？

设剪去的扇形圆心角X
漏斗锥体的底面圆半径r,高H,容积V
2*pi*r=2*pi*R-R*X
X=2pi*(R-r)/R
H^2=R^2-r^2
V=(1/3)(pi*r^2)*H
(9/pi^2)V^2=r^4*H^2=r^4*(R^2-r^2)=4*(r^2/2)*(r^2/2)*(R^2-r^2)
而:(r^2/2)+(r^2/2)+(R^2-r^2)=R^2=定值
所以:当r^2/2=R62-r^2=(1/3)R^2,即:r/R=(2/3)^(1/2)时,V为最大
此时, X=2pi*(R-r)/R=2pi*(1-(r/R))=2pi*(1-(2/3)^(1/2))
=(2pi/3)((根号3)-(根号2))

画个示意图就可以分析出来了，是计算x^4(1-x^2)^1/2的最大值，计算结果是减去圆心角度是 360*（1-(2/3)^1/2）时圆锥体积最大，大概是63°左右,^表示上标