数学题（就1道,呜呜呜呜呜呜…………急死了）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 08:33:51
如图在△ABC中,M,N分别是BC与EF的中点,CF⊥AB,BE⊥AC,证明：MN ⊥EF.
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至于积分能不能答完再给啊~~，拜托各位了真的（~~~~囧~~~）

不妨设三角形BCE的外接圆为圆O
则由于角BEC为直角，所以BC为直径，M为圆心
假设F在圆O内，则角BFC应该大于90度（原因后面讲），如果F在圆O外，则角BFC应该小于90度,所以F只能在圆O上
所以MF=ME（等于半径），所以M在EF的中垂线上，而N为中点，所以MN为中垂线，得证

本题重点在四点共圆的证明，只要得出了四点共圆，后面就容易了
这里讲一下“假设F在圆O内，则角BFC应该大于90度”的原因：
此时延长CF交圆于G，则三角形BGC为直角三角形，G为直角，所以角BFC=180度-角BFG=角FBG+角G>90度
类似可以证明“如果F在圆O外，则角BFC应该小于90度”