构造法的疑惑

构造法主要分两大类，一类是直接解决数学中非常重要的存在性问题，另一类是构造一些辅助的东西解决其他问题。如果你的知识还比较少的话，可能比较关心后者。

构造反例属于第一类，也就是反例的存在性，有很多经典的例子：
比如Fermat猜测F(n)=2^2^n+1是质数，Euler构造了反例F(5)是合数；Weierstrass利用函数项级数构造了处处连续但处处不可导的函数。

高等数学中有很多存在性问题都不是用构造法来解决的，因为很多例子太难构造了，或者构造出来也很难验证。比如代数基本定理，超越数的存在性。

再举一个很巧妙的构造：
证明存在无理数p,q使得p^q是有理数。
当然，取p=e,q=ln2是满足条件的，但是e和ln2是无理数都需要用到Taylor级数的方法来证明，不是初等的。
如果取p1=q1=根号2，另一组p2=p1^q1,q2=q1，这两组数中至少有一组满足条件，这个中学生都能验证。

你说的其它几种普遍属于第二类，属于解决问题的一种途径。事实上平面几何里面的添辅助线就是常见的构造法。
可以再举一些例子：
1.在正三角形ABC内部有一点P，证明PA+PB>PC。证法是通过旋转直接构造出以PA,PB,PC为边的三角形。
2.证明C(0,n)+C(1,n)+...+C(n,n)=2^n。证法是构造恒等式(1+1)^n=2^n，用二项式定理展开左侧。
3.证明算术基本定理——任何大于1的正整数存在唯一的质因子分解。构造型证法可以是逐个尝试2,3,...,n，寻找到n的最小的因子，然后用归纳法。这个就是构造了一个递归算法。当然，最后还要证明唯一性。
4.Cramer法则。在证明Cramer法则正确的时候需要验证非对角元都被消成0，这一步需要构造具有相同行的行列式来得到。

构造法的例子相当多，其中很多都是很有技巧的，在这里多写也没什么意义，你还是慢慢学习吧。