微分方程f(x)''=f(x)有解吗？

原方程可化为 f(x)''-kf(x) = 0，这是常系数线性微分方程。
特征方程为 r^2-k = 0。
当k>0时，特征方程解为 r1 = k^(1/2) , r2 = - k^(1/2).
通解为 f(x) = c1*e^(k^(1/2)*x)+c2*e^(- k^(1/2)*x)
当k=0时，特征方程解为 r1 = r2 =0，
通解为 f(x) = c1*e^(0*x)+c2*x*e^(0*x) = c1+c2*x
当k<0时，特征方程解为 r1 = |k|^(1/2)i , r2 = - |k|^(1/2)i.
通解为 f(x) = c1*cos(|k|^(1/2)*x)+c2*sin(- |k|^(1/2)*x)
这是k为实数时的情况。
如果k是复数，设k的平方根为a+bi和-a-bi，
则 r1 = a+bi, r2 = -a-bi,
通解为 f(x) = c1*e^((a+bi)*x)+c2*e^(- (a+bi)*x)
或 f(x) = n1*cosh(a*x)*cos(b*x)+i*n2*sinh(a*x)*sin(b*x)。
c1、c2、n1、n2为任意实常数。通过 e^(i*x) = cos(x)+i*sin(x)可以证明两者是等价的。
四楼的答案不错，为什么没有采用呢？

y''-ky=0(二阶常系数线性齐次微分方程)
特征方程r^2-k=0,r^2=k
当k>0,有互异实根±√k，设a=√k
此时通解为y=Ae^(ax)+Be^(-ax)
当k=0,有重根0
此时通解为y=A+Bx
当k<0,有虚根±√(-k)i，设a=√(-k)
此时通解y=Acos(ax)+Bsin(ax)
其中A,B是任意实数

这不就是y''-ky=0么？标准的二阶微分方程了
通解y=C1*exp(x*根号k)+C2*exp(-x*根号k)。
其中k是给定的复数，C1、C2是任意复常数

由于f''=kf