0/0型极限问题

你好，对于你的问题，我们首先澄清一点，那就是，泰勒公式不是等价无穷小替换。

等价无穷小替换是一种近似替换，替换者与被替换者一般并不相等，只是他们的比值的极限等于一而已。好比说当 x→0 时，x 与 sin x 是等价无穷小，但无论 |x| 怎样小，只要 x ≠ 0，等式 x ＝ sin x 都不会成立，我们所能知道的信息，最多只是 lim_{x → 0} (sin x /x)＝1。

而泰勒公式则不同，它是准确等式。好比说

sin x ＝x－ x^3 /3! ＋ R_3(x)

是 sin x 在 x＝0 附近的三阶泰勒展开式。那么这个等式就对任何的 x 都准确无误地成立，而不象上述的 x 与 sin x 那样，只在一点处相等，其他时候只是近似相等。其中，等式右边的 R_3(x) 称为余项，虽然我们不知道（不需要知道）它等于多少，但是这个 R_3(x) 却不能随便拿掉，一旦拿掉，等式就不再成立，也就不能称为泰勒公式了。

二者的上述差别，造成如下结果：

由于等价无穷小之间一般并不相等，使用等价无穷小替换后，实质上已是在求另外一个不同的极限了，仅仅由于极限四则运算的法则，才能保证在乘除运算中，使用等价无穷小替换后，结果仍然不变。例如，下列运算过程

lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) ＝ lim_{x→ 0}(2x/5x)＝2/5

中，lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) 与 lim_{x→ 0}(2x/5x) 实质上是两个不同的极限，他们之间所以能够相等，是由于“乘积的极限等于极限的乘积”这一法则：

lim_{x → 0}(tan 2x / sin 5x) ＝lim_{x → 0}(tan 2x / 2x ) × lim_{x → 0}(2x / 5x) × lim_{x → 0}(5x / sin 5x)＝lim_{x → 0}(2x / 5x).

而在分子或分母的加减运算中，则没有任何类似的法则来保证替换以后，新的极限仍然等于原来的极限。事实上，等价无穷小替换时，替换者与被替换者的差别，在