关于求有理根的一个问题

首先，你要明白，一般形式的三次方程X^3+aX^2+bX+c=0是没有理论上的求根公式的。所以，对于三次方程，要么通过分解因式求解，要么通过迭代法求数值解。如果要求此方程的有理根，肯定要尝试因式分解，解法如下：
令有理根X=p/q，其中，p、q为不可约分的整数（正整数或负整数），将X=p/q代入以上方程，可得：4*p^3-4*q*p^2-5*p*q^2-q^3=0
上式等价于：(4*p^3+2*q*p^2)-(6*q*p^2+5*p*q^2+q^3)=0
等价于：2p^2(2p+q)-q(2p+q)(3p+q)=0
等价于：(2p+q)(2p^2-3pq-q^2)=0
则，2p+q=0——（1）
或2p^2-3pq-q^2=0——（2）
由（1）可得，x=-0.5
由（2）可由求根公式得p=q（3±17^(1/2)）/4
可知p/q得到无理数，与首先假设矛盾，故求有理根时，(2)不成立，仅（1）成立，因此，x=-0.5为所求。