江湖救急！矩阵问题！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 11:36:11
设A，B是实数域上的n阶方阵且AB+BA=0.
证明：如果A是对称矩阵且半正定，则有AB=BA=0.

首先，对A做谱分解A=QDQ'，并要求D的对角元递增。
令C=Q'BQ，那么AB+BA=0等价于DC+CD=0。
比较每一个分量得D(i,i)C(i,j)+C(i,j)D(j,j)=0
假定D的第一个非零特征值是D(k,k)，那么当i,j中至少有一个不小于k时D(i,i)+D(j,j)>0，从而C(i,j)=0，也就是说C只有前k×k的子式可能非零，但D的前k阶子式是零，所以CD=DC=0，即AB=BA=0。