判断三角形状的问题求教.

a/sinA=b/sinB
所以a/b=sinA/sinB

a^2tanB=b^2tanA
a^2/b^2=tanA/tanB=(sinA/cosA)/(sinB/cosB)
所以sin²A/sin²B=sinAcosB/cosAsinB
所以sinA/sinB=cosB/cosA
sinAcosA=sinBcosB
2sinAcosA=2sinBcosB
sin2A=sin2B
所以2A=2B或2A+2B=180
A=B或A+B=90
所以是等腰三角形或直角三角形

数学方法很多(如归纳法、演绎法、反证法、归谬法……)。我这里使用“例举法”作这个题。

三角形的形状,可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中锐角三角形、钝角三角形里又分别有等腰的和非等腰的。总之，可分为：①直角三角形、②等腰三角形、③非等腰三角形三类。
由三角函数定义，tanA＝a／b、tanB＝b／a,在①情况里检查，tanA／tanB＝a²／b²，得：a²tanB=b²tanA，符合题目要求。同样步骤，在②情况里检查，是a＝b，也符合题目要求。在③情况里检查，不符合题目要求。
所以，这三角形的形状，只能是直角三角形或等腰三角形两种。

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