牛顿法解方程

一、牛顿法
　　解非线性方程f(x)=0的牛顿(Newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
　　（一） 牛顿法的基本思想
　　把非线性函数f(x)在 处展开成 泰勒级数
　　f(x)=f( )+(x- )f′( )+(x- ) + …
　　取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有
　　f( )+(x- ) f′( )=0
　　设f′( )≠0，则其解为x = - (1)
　　再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若
　　f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = - (n=0,1,2,…) (2)
　　例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在［1,2］内一个实根，取初始近似值x =1.5。
　　解 f′(x)=3x +8x所以迭代公式为：
　　x = - n=0,1, 2，…
　　（二 ） 牛顿法的几何意义
　　方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值 选取后，过( ,f( ))作切线，其切线方程为：y- f( )=f′( )(x- )
　　它与x轴交点的横坐标为x = -
　　一般地，设 是x*的第n次近似值，过( ,f( )作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x = - 即用切线与x轴交点的横坐标近似代
　　曲线与x轴交点的横坐标，如图2-4。
　　2-4
　　牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。
　　（三） 牛顿法的收敛性及收敛速度
　　定理 设f(x)在［a,b ］满足
　　(1) (1) f(a)·f(b)<0
　　(2) f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。
　　(3) f( )·f″(x)>0， 、x∈［a,b］，则方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一个实根，由牛顿法迭