求下列无穷数列各项的和S(各项的和S即当n趋向于无穷时前n项和Sn的极限）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 21:08:48
2/2²-1，2/3²-1，...，2/(n+1)²-1，...
(提示：1/(n+1)²-1=1/n(n+2)=1/2(1/n-1/n+2))

请问这n项和Sn是怎么 O(∩_∩)O谢谢

第一项变为：(1/2)(1-1/3)
第二项变为：(1/2)(1/2-1/4)
第三项变为：(1/2)(1/3-1/5)
……
可以看出第一项中的1/3和第三项中的1/3可以相加为0，这样就能消去大部分项。
S=(1/2)(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6……)
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
在n趋于无穷时候，S=(1/2)(1+1/2)=3/4