高点数学证明题

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/20 00:07:56

f（x）在[0，正无穷]上连续，f（x）在正无穷上有极限，证明：f（x）在[0，正无穷]上有界

由于f在正无穷上有极限，不妨设极限为A，则根据定义可以取一正数a，则存在B，使得当x>B时有|f-A|<a,所以当x>B时，A-a<f<A+a
由于f在【0，B】上连续所以在【0，B】有最大值和最小值，不妨设为M和m则f<max(M,A+a),且f>min(m,A-a),所以f在[0，正无穷]有界

f（x）在[0，正无穷)上连续
根据***定理，f（x）在[0，正无穷)上有界
f（x）在正无穷上有极限
所以f（x）在[0，正无穷)上有界