won't be able to go on holiday with my mother being ill in hospital

with是介词，后面用的是BEING
for是连词，后面用句子～如果用for，则为for my mother was ill in hospital～

with 在这里表示伴随，后边由being引导一个原因状语从句。

独立主格结构有时可在其前加上介词with。

  如：Don’t sleep with the windows open. 别开着窗睡觉。

  He was lying on the bed with all his clothes on. 他和衣躺在床上。

  She came in with a book in her hand. 她手里拿着一本书走了进来。

  He fell asleep with the lamp burning. 他没熄灯就睡着了。

  I won’t be able to go on holiday with my mother being ill. 因为妈妈有病，我无法去度假。

  He sat there with his eyes closed. 他闭目坐在那儿。

  All the afternoon he worked with the door locked. 整个下午他都锁着门在房里工作。

  I