用等价无穷小代换做题的前提是极限存在但最后的结果可以是无穷，这不是矛盾吗？

不矛盾，无穷大与无穷小有倒数关系，若f(x)/g(x)的极限是无穷大，那可以先对g(x)/f(x)使用等价无穷小，结果是0，则f(x)/g(x)的极限是无穷大

等价无穷小代换不能随便乱用，一般来说，如果该项是参与乘法或者除法运算的话就可以用，例如
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]
这时ln(1+x)是x的等价无穷小，sinx是x的等价无穷小，所以都可以换过来
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1.
如果是参加加法减法甚至是乘幂等运算，这时视情况而定，但是，对于数学来说，如果一种方法有时有效，有时失效的话，就最好不要用，否则很容易出错，例如
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]
如果把sinx换成x，得到极限值为0，那就错了，你用两次洛比达法则可以求一下这个极限
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]=lim[x->0,(1-cosx)/(3x^2)]=lim[x->0,sinx/(6x)]=1/6
至于你的题目，替换也是可以的，但严格的解题，最好直接用洛比达法则求，这时分母里面的(1-cosx)与x^2/2是等价无穷小(x->0),可以替换.