1996年第11届中国数学奥林匹克（CMO）

对任意实数x,y,有f(x^3+y^3)=(x+y)((f² (x) -f(x)*f(y)+f² (y))①
在①中取x=y=0,有f(0)=0
在①中取x=1,y=0,有f(1)=0或1
在①中取y=0,有f(x³)=xf² (x)②
定义集合S如下:S中所有元素由满足下面条件的正数a组成:对于任意实数x,有f(ax)=a*f(x)

首先证明,若a³∈S,则a∈S
事实上,由a∈S,得f(a³ *x³)=a³ *f(x³)
利用②,有ax*f² (ax)=a³*xf² (x)
于是当x≠0时有f² (ax) =a²*f² (x)③
由②可知f(x³)与x同号,所以f(x)与x同号,进而f(ax),a*f(x)都与ax同号,于是利用③得当x≠0时f(ax)=af(x)
显然上式对x=0也成立
所以a∈S

其次,证明,若a³,b³∈S,则a³+b³∈S
事实上,由a³,b³∈S知a,b∈S,于是对于任意实数x,
f((a³+b³)x³)=(ax+bx)(f² (ax)-f(ax)*f(bx)+f² (bx))
=(ax+bx)(a² *f² (x)-af(x)*bf(x)+b² *f² (x))
=(a³+b³)*xf² (x) =(a³+b³)f(x³),
从而a³+b³∈S

最后,利用数学归纳法证明任意正整数n∈S
事实上,n=1显然成立
假设n=1,2,...,k成立,则令a³=1,b³=k,有a³+b³=1+k∈S

所以对于任意正整数n和