数学1234444

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 02:31:02
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点为F1，F2在椭圆上存在8个点P使得三角形PF1F2为直角三角形，则椭圆e的范围

垂直焦点的直线和椭圆有4个交点
所以另有4个点是直角三角形
此时角F1PF2是直角

Q在椭圆上
则Q是短轴顶点时角F1QF2最大
所以角F1QF2>角F1PF2
是钝角
令QF1=m,QF2=n
m+n=2a
m²+n²=4a²-2mn
F1F2=2c

cos角F1QF2<0
所以(m²+n²-4c²)/2mn<0
2mn>0
m²+n²-4c²<0
4a²-2mn-4c²<0

m²+n²=4a²-2mn>=2mn
mn<=a²
-2mn>=-2a²
4a²-2mn-4c²>=2a²-4c²
即2a²-4c²<=4a²-2mn-4c²<0
2a²<4c²
c²/a²>1/2
c/a>√2/2
所以√2/2<e<1