在工行的网上银行可以把没开通网上银行的卡上的钱转到开通网上银行的卡上吗

不能。

网上银行的好处就是可以网上自主操作
你没开通网上银行的卡想转账就只能是柜台或ATM机了，不能在网上转账的。

开通网上银行的卡转账一样是要手续费的，不过和柜台转账相比一般有4-8折的优惠，再就是非常方便咯，不用跑营业厅。

都是自己的卡要跑一趟银行办一个下挂手续以后就可以转来转去了，是不收费的。
就是把没有开通网银的卡（就叫它B卡吧）挂在已经开通网银卡（就叫它A卡）的下面，以后用A卡帐号登录网银，A、B卡的钱可以转来转去是不收费的，还可以用B卡的帐号转账给别人和对外支付而不必暴露A卡的帐号给别人看见，增加网银的安全性。
对你的两个卡在银行柜台办理业务是没什么影响的。

如果没有办下挂就不可以。

不可以，只有开通网银行的卡才可以在网上转账。如果同一个城市开的卡就不用手续费，如果是跨城市的话，同一个身证开的卡也要收手续费