高手帮忙解决高难度问题:证明:n!>(n/3)^n,n>=6 的自然数

证明:n!>(n/3)^n,n>=6 的自然数.

解：运用数学归纳法
（1）n=6时，经过计算n!>(n/3)^n成立
（2）假设n=k时n!>(n/3)^n成立即k!>(k/3)^k
(k+1)!>((k+1)/3)^(k+1) <== (k+1)!/k!>=((k+1)/3)^(k+1)/(k/3)^k
<==> k+1>=(k+1)/3*((k+1)/k)^k
<==> 3>(1+1/k)^k
<==> 3>1+C(k,0)(1/k)^0+C(k,1)(1/k)^1+...+C(k,k)(1/k)^k---------------------------C(k,i),i=0,1,2,...k为组合数
<==> 3>1+1+C(k,1)(1/k)^1+...+C(k,k)(1/k)^k
注意到 C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)(k-2)..(k-i+1)/(1*2*3...*i)/k^i
=(k/k)*((k-1)/k)*((k-2)/k)...((k-i+1)/k)/i!
<1*1*1*...*1/i!
=1/i!
<=1/2^i (i=1,2,3...,k)
C(k,1)(1/k)^1+...+C(k,k)(1/k)^k<1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^k
=1-1/2^k<1
所以1+1+C(k,1)(1/k)^1+...+C(k,k)(1/k)^k<1+1+1=3成立
即(k+1)!>((k+1)/3)^(k+1)成立

综上所述，命题得证！

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