完全非弹性碰撞数学推导

证明：完全非弹性碰撞机械能损失最大（碰撞后共速）
1、证明命题之前熟悉一下矢量点积（标积）的概念。
假设有矢量A、B，则：A . B = |A|*|B| cosθ ,θ是两个矢量的夹角。|A|、|B|是矢量的大小（模）。
矢量的点积遵守分配律和结合律：
(A + B) . (C + D) = A . C + A . D + B . C + B . D

2、证明命题
假设在平面空间中（立体空间也可，不过两个矢量肯定在一个平面上）有两个物体，质量分别是m1、m2，速度分别是矢量V1、V2，发生碰撞以后，分别以V1'，V2'。
不管发生什么碰撞，系统都是内力作用，没有外力，因此动量守恒：
m1V1 + m2V2 = m1V1' + m2V2'
(m1V1 + m2V2) . (m1V1 + m2V2) = (m1V1' + m2V2') . (m1V1' + m2V2')
m1^2|V1|^2 + m2^2|V2|^2 + 2m1m2 V1 . V2 = m1^2|V1'|^2 + m2^2|V2'|^2 + 2m1m2 V1' . V2'
1/2 m1^2|V1'|^2 + 1/2 m2^2|V2'|^2 + m1m2 V1' . V2'= m1 E1' + m2 E2' + m1m2V1' . V2'
而m1^2|V1|^2 + m2^2|V2|^2 + 2m1m2 V1 . V2 为定值，设为C
所以：
m1 E1' + m2 E2' + m1m2V1' . V2' = C （E1'、E2'是碰撞后两个物体的动能）
m1 E1' + m2 E2' + m1m2|V1'*V2'|cosθ = C (θ是V1'和V2'的夹角)
m1 E1' + m2 E2' + 根号下(m1^2|V1'|^2 m2^2|V2