设双曲线，准线平行于x轴，离心率为根号5\2，且点P(0,5)到此双曲线的最短距离为2，求双曲线方程

设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为根号5/2,且点P(0,5)到此双曲线的最短距离为2，求双曲线方程

解：因为准线平行于X轴，所以焦点在Y轴上。于是可设双曲线方程为
y^2/a^2-x^2/b^2=1.
∵e=c/a=√5/2,
∴c=(√5/2)a.
又5-a=2,
∴a=3,
从而c^2=(5/4)a^2=(5/4)*9=45/4;
b^2=c^2-a^2=45/4-9=9/4.
故双曲线方程为：y^2/9-4x^2/9=1.

由题意,设双曲线参数方程为
y = a·sinθ;
x = b·cosθ;
根据离心率,有
(c/a)^2 = (a^2 + b^2)/a^2
=e^2 = 25/4;
→ b^2 = (21/4)a^2;

用θ表示点P(0,5)到此双曲线的距离:
L^2 = (a·sinθ -5)^2 + (b·cosθ -0)^2
=(a^2 - b^2)·sin^2 θ - 10a·sinθ + (b^2 + 25)
= -(17/4)a^2·sin^2 θ - 10a·sinθ + (21/4)a^2 + 25
= -(17/4)a^2·[sinθ + 80/(17a)]^2 + (357a^2 + 525)/17

下面分情况讨论:
①sinθ ＜ -80/(17a)
②sinθ ≥ -80/(17a)

讨论L^2 的最小值在各自什么情况下等于 2^2=4;
由此可确定a值;
继而可确定b值.
方程就确定了

还要补充条件:双曲线中心在原点.

由题意可设双曲线的方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=1 (a>0,b>0)
双曲线与y轴上方的交点为A(0,a)，则P到A的距离最短
∴|PA|=2
(a-5)^2=4
解得：a1=3 a2=7
∵e=c/a=√5/2
∴c1=3√5/2 c2=7√5/