一道高数题，导数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 16:17:52
已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式f（1＋sinx）－3f（1－sinx）＝8x＋a（x），其中a（x）是当x趋近于无穷时比x高阶的无穷小，且f（x）在x＝1处可导，求曲线y＝f（x）在x＝1处的导数。
ps：希望过程要严谨，因为我已经通过无耻的做法得知答案为2，希望得到严谨步骤，谢谢

式子两边取极限x→0，得f(1)－3f(1)＝0，所以f(1)＝0

式子两边同除以x，取极限x→0，则右边极限是8，左边

[f(1＋sinx)－3f(1－sinx)]/x
＝[f(1＋sinx)－f(1)]/sinx×sinx/x ＋ 3×[f(1－sinx)－f(1)]/(-sinx)×sinx/x，x→0时的极限是f'(1)＋3f'(1)＝4f'(1)

所以，f'(1)＝2