量子力学中关于矩阵的一个运算

证明：这需要先说明一个重要定理。
若A和B相似，则detA=detB. trA=trB,所以算符A的的迹及行列式值在任何表象变换中是不变的。
因为det(AB)=detA*detB，tr(AB)=tr(BA),再根据A=U-1BU代入，可证出该定理。其实用不到tr(AB)=tr(BA),可不用证这个。

有了此定理。 F表象中以|vi>为基矢。由量子力学表象理论可知，厄米算符在自身表象下呈对角矩阵。
F|vi>=vi|vi>, U|vi>=exp(iF)=exp(ivi)|vi> ,将exp(iF)用泰勒展开可得后式。vi是指基矢，ivi指虚数i乘以vi.
由定理可知detU为U在F中表象中的行列式.(detU在任何表象中的行列式值不变）
那么怎么求detU呢，Uij为U矩阵元，Uij=<vi|U|vj>=ivj<vi|vj>可看出U是对角矩阵。
所以detU为对角元的积,即为exp(iv1)*exp(iv2)*exp(iv3)...
detU=exp[i*(v1+v2+v3+...]
厄米算符在自身表象下呈对角矩阵,所以trF=v1+v2+v3+v4+...
exp(itrF)=exp[i(v1+v2+v3+v4+...)]
从两式可看出。detU=exp(itrF)
还有不明白的地方可以问我，欢迎提问。向我空间留言也可以。

楼上正解。
不就是谱分解定理加谱演算定理吗，两句话就完了。