伯努利多项式和欧拉多项式

(1)伯努利多项式和欧拉多项式的定义是:
伯努利多项式B(n,x)=∑(i=0～n)[C(n,i)B(i,0)x^(n-i)]
欧拉多项式E(n,x)=∑(i=0～n)[C(n,i)E(i,0)x^(n-i)]
其中：C(n,i)为组合数，B(i,0)为伯努利数，E(i,0)为小欧拉数。
(2)伯努利多项式和欧拉多项式的关系是:
E(n-1,0)=2B(n,0)(1-2^n)/n (证明从略)

Bernoulli多项式Bn(x)：
取F(x,t)=t*exp(xt)/(exp(t)-1)，则Bn(x)是F(x,t)关于t的n阶偏导数在(x,0)的值。
Euler多项式En(x)：
取G(x,t)=2exp(xt)/(exp(t)+1)，则En(x)是G(x,t)关于t的n阶偏导数在(x,0)的值。

性质有很多，你最好自己去查。

伯努利方程：

理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体 ，方程为
p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C
式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。

伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒，帮助我们理解流体现象，例如：在水流湍急的地方，压强小，在水流缓慢的地方，压强大，这是飞机能停在空中的理论支持之一，也是为什么我们要在火车进站时保持一定距离的原因。

欧拉公式：

复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.<