母亲改嫁，儿子随祖父生活，继父有抚养责任

如果孩子是限制行为能力.也就是未满18.或者年满16却无法独立生活
那其母和其继父为其法定监护人.
母亲再婚.只要符合法律程序.那么继父子关系就已成立.已受法律保护.
继父当然也有抚养责任了.

要视情况而定。
1、继父与该子女是否已经形成扶养关系，而且是否已经进行收养登记，如果已经登记，该继父对该子女（未成年子女）有扶养义务。
2、如果该继父与继女没有进行收养登记，继父没有没有扶养义务。

保险公司是没有权利判的，应该是法院
婚姻法规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或生母，应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能独立生活为止。养父母和继父母对养子女和继子女的抚养义务适用婚姻法有关对父母子女的关系的规定。
婚姻法还规定：有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母死亡或无力抚养的未成年的孙子女、外孙子女有抚养义务。
有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已 经死亡或父母无力抚养的未成年的孙子女、外孙子女，有抚养的义务