两道自主招生数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 00:26:46
证明：任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。
请详细解答谢谢

都用反证法：
1.作图任意四面体ABCD，设任意顶点A的三条棱AB,AC,AD不能构成三角形，则
AB+AC＜AD,AB-AC＞AD,而在四面体中△ABC是已有的，则AB+AC＞BC，AB-AC＜BC，与前面AB+AC＜AD,AB-AC＞AD综合，得出BC＞AD，同时BC＜AD,出现矛盾，故至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
2.假设面积大于4的矩形不覆盖原点外任何格点，则矩形面积范围在（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1），（1，0），（0，-1），（-1，0），（0，1）这8个点范围内，不满足面积大于4，如果只是覆盖这其中一点，则与“以原点为对称中心”矛盾，故原命题成立。