巴格达地牢〔概率论〕在线等待

完整严谨的回答：

这个题可以归为“几何分布”问题。

他每次选对门的概率是p＝1／3，选错门的概率是1－p＝2／3。他第k次选对门的概率是[(1-p)^(k-1)]p。他选对门所需要的次数的平均值是

∑{k=1, ∞}k[(1-p)^(k-1)]p = 1/p = 1/(1/3) = 3 次。

在3次选择中，前2次都是选错的情况；由于选B和C的机会均等，故B和C各占1次；第3次是正确选择。所以，平均而言，A, B, C三个门各选了一次。故平均所需时间是

3+5+7 = 15 小时。

设窃贼平均x小时可获得自由
则x=[3+(5+x)+(7+x)]/3
解得x=15小时

开始选A门的概率是1/3,通过A门3小时候可获得自由
开始选B门的概率也是1/3，5个小时候返回原地，再选A出去的概率是1/2,这样出去一共花了8个小时
选C的概率也是1/2，7个小时候后返回原地，最后选择A出去，这样一共花了15个小时

开始选C门的概率也是1/3，7个小时候返回原地，再选A出去的概率是1/2,这样出去一共花了10个小时
选B的概率也是1/2，5个小时候后返回原地，最后选择A出去，这样一共花了15个小时

所以平均花的时间是：1/3*3+1/3*1/2*8+1/3*1/2*15+1/3*1/2*10+1/3*1/2*15
=9
窃贼平均9个小时可以获得自由

设窃贼x小时可获取自由
可求x的期望值 由题意知 窃贼必过A门
E(x)=3*1+5*1/3+7*1/3=7