三角形研究问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 12:10:45
1. 在△ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现如下事实：（1）如图1，当AE/AC=1/2=1/（1+1）时，有AO/AD=2/3=2/（2+1）；（2）如图2，当AE/AC=1/3=1/（1+2）时，有AO/AD=2/4=2/（2+2）；（3）如图3，当AE/AC=1/4=1/（1+3）时，有AO/AD=2/5=2/（2+3），如果AE/AC=1/（1+n），参照上述研究的结论，请你猜想：用n表示AO/AD的一般结论，并给出证明。（其中n是正整数）

如果AE/AC=1/（1+n），则 AO/AD=2/(2+n)
证明：
过E作EF‖BC交AD于F
则∵ ∠FEO=∠OBD,∠EOF=∠BOD
∴ ΔOEF∽ΔOBD
∴ OF:OD=EF:BD=EF:CD
∵ 在ΔAEF和ΔADC中
EF‖BC
∴ ∠AFE=∠ADC,∠AEF=∠ACD
ΔOEF∽ΔOCD
∴ AF:AD=EF:CD=AE:AC=1/(1+n)
∴ OF:OD=EF:CD=1/(1+n)
OD:OF=1+n
DF:OF=2+n,即OD:DF=1/(2+n)
AF:AD=(AO-FO)/AD=AO:AD-FO:AD
=AO/AD-DF/[AD(2+n)]
=AO/AD-(AD-AF)/[AD(2+n)]
=AO/AD-1/(2+n)+AF/[AD(2+n)]
∴ AF/AD-AF/[AD(2+n)]=AO/AD-1/(2+n)
AF/AD([1-1/(2+n)]=AO/AD-1/(2+n)
[1/(1+n)][(n+2-1)/(n+2)]=AO/AD-1/(2+n)
1/(2+n)+1/(2+n)=AO/AD
∴ 2/(2+n)=AO/AD

Δ∽Δ≌