能否用待定系数法求数列通项？

你给的三个递推式可以总结为一个:
a[n+1]=f(n)a[n]+g(n)
这个可以用待定函数法,不能只用简单的待定系数
设f(n)=h(n+1)/h(n),h(n)为待定函数
则a[n+1]=h(n+1)/h(n)a[n]+g(n)
两边同时除以h(n+1)得到:
a[n+1]/h(n+1)=a[n]/h(n)+g(n)/h(n+1)
做代换:b[n]=a[n]/h(n)
b[n+1]=b[n]+g(n)/h(n+1)
从而b[n]=b[1]+g(1)/h(2)+g(2)/h(3)+....+g(n-1)/h(n)
待定函数h(n)既可以用观察法求出,也可以用一般的方法:
h(n)=f(1)f(2)...f(n-1)
对于你给的第三题,h(n)=n-1
第二题h(n)=1,第一题h(n)=2^(n-1)

当然,对于f(n)=p,g(n)=b*q^n,其中p,q,b为常数,有特殊的待定系数法
a[n+1]=p*a[n]+b*q^n(p≠q)
设其可以化为:a[n+1]+x*q^(n+1)=p*(a[n]+x*q^n)(x为待定系数)
整理得到:a[n+1]=p*a[n]+(px-qx)*q^n
所以x=b/(p-q)
对于p=q的特殊情况要复杂一些
a[n+1]+x*(n+1)*q^(n+1)=p*(a[n]+x*n*q^n)
整理:a[n+1]=p*a[n]+x*(np-q*(n+1))*q^n=p*a[n]-x*q*q^n(注意p=q)
所以:x=-b/q

对于f(n)=p,g(n)=M(n),M(n)=m[k]*n^k+m[k-1]*n^(k-1)+..+m[0]为多项式的情况
可以设:a[n+1]+R(n+1)=p*(a[n]+R(n))
其中R(n)=r[k]*n^k+r[k-1]*n^(k-1)+...+r[0](r[0],r[1],...,r[k]为待定系数)
通过等式x*(R(n)-R(n+1))=M(n),将多项式展开,然后对比系数可以得到一个k+1元一次方程组,