UC知道轮换式以及放缩法的问题，谢谢。
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 14:32:20
您好，偶然看了您解答的一些问题，有一个东西从小就搞不太懂，能帮我讲一下大概思路么。题是这个（贴吧看的）：已知a,b,c均大于0,证明不等式 a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ca+a^2) >= (a+b+c)/3 ，这种题取一个量为变量再用导数应该能证明出来吧（我没试），不过像这类轮换对称式应该有个一般思路吧，贴吧里有人用放缩解的我没看懂。能顺带讲一下放缩法的惯用方法么。（因为快考研了很怕被这种题拦住）。
应该说这种问题没有很一般的初等方法，求导当然是可以的。
初等的方法技巧性比较强，而且常见的题目是3个变量的。常用的初等方法有
1.套用著名的不等式，比如平均值不等式、Cauchy-Schwarz不等式。大多数时候能够猜到等号成立的条件，如果符合上述不等式取等号的条件一般就可以尝试。
2.对于有些不清晰的问题，可以假定a>=b>=c这样的关系，然后尝试排序不等式。
3.有时需要构造凸函数然后使用Jensen不等式。
4.数学归纳法。
以上通常也适用于n个变量的问题。
5.有时也利用消元法，把其中一个变量视为另两个变量的函数，或者是以另两个自变量为参数的某个函数的值，然后利用函数的性质来解。
6.对于有些对称性不是足够好的，比如你这个问题，可以尝试补上对称的一半，然后看看有没有好的方法。
不等式的放缩技巧性还是很强的，难度相差相当大，可以说是没有通用的方法。
来自：求助得到的回答