n(n-1)/2的奇偶性是如何确定的？

n为4的整数倍时，令n=4k
n(n-1)/2=4k*(4k-1)/2=2k*(4k-1)
4k-1为奇数，2k为偶数，n(n-1)/2为偶数。

n不为4的整数倍时，有n=4k-1,4k-2,4k-3三种情况，
分类讨论：
令n=4k-1
n(n-1)/2=(4k-1)(4k-2)/2=(4k-1)(2k-1)
4k-1,2k-1均为奇数，n(n-1)/2为奇数。
令n=4k-2
n(n-1)/2=(4k-2)(4k-3)/2=(2k-1)(4k-3)
4k-3,2k-1均为奇数，n(n-1)/2为奇数。
令n=4k-3
n(n-1)/2=(4k-3)(4k-4)/2=2(4k-3)(k-1)为偶数。

综上，当n为4的整倍数或4的整倍数-3(也可写成4的整倍数+1)时，为偶数，其余为奇数。

证：若n为偶数，则n-1为奇数（反之亦然）。
不妨假设n=2k（k∈R）
n(n-1)/2=2k(2k-1)/2=k(2k-1)
无论k为何值，总有(2k-1)是奇数，所以k(2k-1)的奇偶性由k的奇偶性决定，
即：当n为偶数时，n(n-1)/2的奇偶性取决于n/2的奇偶性。
同理，可知：当(n-1)为偶数时，n(n-1)/2的奇偶性取决于(n-1)/2的奇偶性。

带个-N到N
结果和原式结果一致为偶
相差负号为奇
否则非奇非偶

当n=4k或4k+1时,其中k∈Z
n(n-1)/2为偶数

当n=4k+2或4k+3时
n(n-1)/2为奇数