台湾当局承认北洋军阀时候的总统合法吗？

承认。
立国之初

袁世凯（左）与孙中山（右）以及二面代表早期之中华民国的国旗。甲午战争后清朝面临许多政治和外交危机，民间革新与革命思潮涌现。孙中山创立兴中会，号召推翻满清帝制。革命思想及主张逐渐得到士绅和知识份子认同并影响广泛之后，同华兴会、爱国学社、青年会合组同盟会。1911年10月10日武昌起义成功，数月内各省响应，纷纷独立，史称辛亥革命。到12月29日时，清朝原有的22个行省中已经独立17省。

岌岌可危的清朝起用袁世凯任内阁总理大臣。虽然袁世凯发兵击溃湖北的革命军，但他希望议和以实现自己的目标，之后双方断断续续停战，并正式派代表于上海议和。革命期间因有黎元洪与黄兴之争，直至孙中山自海外返国，方被独立各省代表选为临时大总统。[参 25]

1912年1月1日，孙中山在南京总统府宣誓就职，中华民国正式成立。同年1月至3月，中华民国临时政府将去年12月25日通过的《中华民国临时政府组织大纲》定为临时宪法，定南京为临时首都。2月12日时，隆裕太后在袁世凯等大臣的劝说下，代宣统帝溥仪发布《退位诏书》，清朝至此结束。[参 26]

[编辑] 北洋时期
主条目：北洋政府

五色旗—北洋时期的国旗袁世凯利用军事优势与政治手腕，在南北议和中取得绝对优势。不久，孙中山让位于袁世凯，政府迁都至北京，史称北洋政府。于此时期，中华民国遭遇两次危机，一次是袁世凯欲称帝的洪宪帝制，最终因蔡锷、唐继尧与李烈钧等人发起护国战争（又称云南起义）推翻袁世凯政府。另一次为张勋发动的溥仪复辟，最终被段祺瑞所击败。而后段祺瑞废除《临时约法》，孙中山随即发起护法运动，于广州建立护法政府，军政时期开始。此时期，由西方引进民主及科学思想，发起许多运动。以北京学者为首的新青年派等知识份子发起新文化运动。而以南京学者为首的学衡派等知识份子倡议复兴中华文化。于第一次世界大战后成为战胜国，但因为巴黎和会的青岛归属问题使知识份子愤而发起五四运动，最后政府拒签凡尔赛条约。

北洋政府因为府院之争、贪污腐败（例如曹锟利用贿选担任总统）与军阀割据而动荡不安。最后分裂成数个军阀，主要势力有：据有东北、河北及山东的奉系张作霖（含鲁系）、河南湖广的直系吴佩孚及江南的新直系孙传芳。