高一函数 一道题 (在线等)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 22:54:02
17.二次函数f(x)的二次项系数是a，且y=f(x)+2x的图像开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别是1，3.
（1）若方程f(x+6a)=0有两个相等的根，求函数a的解析式
（2）若函数的(x)最大值为正，求a的取值范围

要过程的!!!

设f(x)=ax^2+bx+c
y开口向下，有a<0;
y与x轴两个交点的横坐标分别是1，3,有
ax^2+bx+c+2x=ax^2+(b+2)x+c=a(x-1)(x-3),
解得b=-4a-2,c=3a;

(1)f(x+6a)=ax^2+(12a^2+b)x+36a^3+6ab+c
=ax^2+(12a^2-4a-2)x+36a^3-24a^2-9a
其有两等根，则
（12a^2-4a-2)^2-4a(36a^3-24a^2-9a)=0
化简得a^2+4a+1=0

(2)当x=-b/2a=2+1/a时f(x)取最大值
f(2+1/a)>0,解不等式得，
a<-2-根号3或-2+根号3<a<0.