It fascinates me to observe the way in which children ...

不是病句，while和前面的句子其实是一个句子，表示转折，后面的句子沿用前面的主语，因此用keeping

正确的句子应该是这样的：It fascinates me to observe the way in which children so often react against their parents' idea,while at the same time keeping their parents characteristics.
while前面可以没符号或者是逗号，不能用句号。这不是病句，while在这是连词表转折意思是：然而，尽管，可是。某些壮语从句中，当从句主语与主句主语一致时，从句的主语和be动词可省略，实际上while 后省略了the children are。

不是病句，但也并不是和前面是一个句子，这是句子成分有省略的结果。

补全应该是 they are keeping ....

这样省略的现象很常见

譬如 When going home, he will say hello to everyone.

它吸引我观察孩子们经常违背家长的想法行动，却同时保持着他们家长的性格特点。

这个句子有点小问题。while前面应该是逗号，且while不需要大写。此句中while表转折。keep加ing 表示伴随状语。