高三 数学 四棱准P-ABCD中，地面ABCD是边长为2的正方形，PB垂直 请详细解答,谢谢! (9 19:1:1)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 10:59:24
四棱准P-ABCD中，地面ABCD是边长为2的正方形，PB垂直于BC，PD垂直于CD，且PA=2,E点满足PE=1/3PD
 
 
在弦断BC上至否存在点F使得PF〃平面EAC？若存在，确定F的位置。
 
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我知道F在BC中点,可是该怎么证明?

因为PB垂直于BC,AB垂直于BC

所以BC垂直于平面PAB

所以AD垂直于平面PAB

所以AD垂直于PA

同理可证：BA垂直于PA

PA、AB、AD两两垂直，

以A为原点、向量AB为X轴正方向建立直角坐标系得：

P（0，0，2），D（0，2，0）

所以E（0，1/3，2/3）

又A（0，0，0），C（2，2，0）

所以向量AE=（0，1/3，2/3），AC=（2，2，0）

设平面EAC法向量N=（X，Y，Z）

则1/3*Y+2/3*Z=0，2X+2Y=0，

令Z=3，则Y=-2，X=2

所以N=（3，-2，2）

设F（2，P，0），则向量PF=（2，P，-2）

则3*2-2P-4=0

解得：P=1，

即点F为BC中点时，PF//平面EAC

如图。

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