向量证明面面垂直

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 14:08:51
现有平面α，β，现在α内有一直线a垂直于直线b（b在β内）且a垂直于平面β，已知α交β与直线L，求证：α垂直于β。

现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可，但是如何证明b是α平面的法向量？？也就是b⊥L怎么证明？？？？？？？（不要用什么二面角。。。如果用二面角，就不用费这么大功夫直接证垂直算了）
你用的是空间图形的证明方法
我的题中明确表明，要用空间向量证明。。。

说明：b⊥L不一定成立。如图，设直线a对应AB，则直线b对应BF或者BE都可以满足条件。而直线L则是对应CD。由此可知b⊥L不一定成立。

证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”的证明。

证明：（法向量证明）

      ∵AB⊥β

     ∴向量AB即可作为β的法向量，而且AB垂直于β内任意的一条直线

      在平面β内过B点作直线BE⊥CD

     ∵AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥BE

     ∵AB与CD交于B点

     ∴BE⊥α

    ∴向量BE即可作为的α法向量

     又∵向量AB即可作为β的法向量，且AB⊥BE

     ∴α⊥β

(二面角证明)

      ∵AB⊥β

     ∴AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥CD.

     在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角

     又∵AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥BE

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