已知P是抛物线y²=10x上的动点,求点P与点M（m,0）的距离的最小

P(a,b)
则b²=10a
a=b²/10

PM²=(m-a)²+b²=(m-b²/10)+b²
=b^4/100+(1-m/5)b²+m²
=(1/100)[b²-(10m-50)]²+10m-25
b²>=0
若10m-50<0,m<5
则定义域在对称轴右边，增函数
所以b²=0,PM²最小=m²

若10m-50>=0,m>=5
则b²-10m-50
PM²最小=10m-25

所以
m<5,PM最小=|m|
m>=5,PM最小=√(10m-25)

分类讨论

情况一：M小于0，M点在抛物线外，则PM最小值就是-M

情况二，M等于0，M点在抛物线顶点上，PM最小值0

情况三，M大于0，M在抛物线里，这时候当PM取最短时，PM应该垂直于过P点的抛物线切线

设P点坐标为（A，根号10A），则过P点的抛物线切线方程为

Y=5（X+A）/根号10A，斜率T=5/根号10A

又知PM的斜率Q为根号10A/（A-M）

因为垂直，所以QT乘积为-1，所以根号10A/（A-M）=-根号10A/5

A=M-5

所以P点坐标（M-5，根号10M-50）

根据两点距离公式算出PM=根号10M-25