UC知道函数方程怎么做?(答案请教)
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 23:32:46
设Q是所有有理数的集合,求满足下列条件的从Q到Q的函数f:
(1) f(1) = 2
(2) 对所有x,y∈Q,有 f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1
解: 在(2) 中令y=1即得 f(x+1) = f(x) + 1
又 f(1) =2, 所以对整数x有 f(x) = x + 1
我的问题
又 f(1) =2, 所以对整数x有 f(x) = x + 1
怎么出来的? 不理解!
(1) f(1) = 2
(2) 对所有x,y∈Q,有 f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1
解: 在(2) 中令y=1即得 f(x+1) = f(x) + 1
又 f(1) =2, 所以对整数x有 f(x) = x + 1
我的问题
又 f(1) =2, 所以对整数x有 f(x) = x + 1
怎么出来的? 不理解!
f(x+1) = f(x) + 1
=>
f(x) = f(x-1) + 1
= f(x-2) + 1
...
= f(1) + (x-1)
= 2 + (x-1)
= x+1
:)
这是一个数学归纳法的省略结构
可以这样理解
f(x+1)=f(x)+1
=f(x-1)+1+1
=f(x-1-1)+1+1+1
=f(x-x)+x+1
=f(0)+x+1
又 f(0)=1
所以 f(x+1)=x + 2
所以 f(x) = x + 1
因为f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1
令y=1 f(x)=f(x)f(1)-f(x+1)+1
因为f(1)=2 所以f(x)=2f(x)-f(x+1)+1
f(x+1)=f(x)+1
因为x∈Q，所以f(x)-f(x-1)=1
f(x-1)-f(x-2)=1
....
f(2)-f(1)=1
将这(x-1)个式子相加，得
f(x)-f(1)=x-1
因为f(1)=2,所以
f(x)=x+1
得出题目所要求得结论。