充要条件

此题考查的是正弦定理的综合应用，要点在于角化边或边化角
具体证明过程如下：y=因为，s=所以
1.充分性
y A=2B,s sinC=sin(A+B)=sin3B,
s (sinB+sinC)/sinA=[1-(sinB)^2+3(cosB)^2)]/2cosB=2cosB
此处用到了正弦三倍角公式：sin3B=-(sinB)^3+3sinB(cosB)^2
y sinA/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB=(sinB+sinC)/sinA
s a/b=(b+c)/a，s a^2=b*(b+c)
2.必要性
y a^2=b(b+c),s (sinA)^2=(sinB)^2+sinBsin(A+B)
s (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsin(A+B)
s 4sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]=sinBsin(A+B)
此处用到了和差化积的公式：
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
s sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B)
s sin(A-B)=sinB, s A=2B
证毕