什么是非法律诉讼?

你所指的应该是非讼案件
而并非是非法诉讼。
根据《律师法》的规定，中国律师可以接受非讼和诉讼两大类业务，具体来说《律师法》第二十五条规定“律师可以从事下列业务：（一）接受公民、法人和其他组织的聘请，担任法律顾问；（二）接受民事案件、行政案件当事人的委托，担任代理人，参加诉讼；（三）接受刑事案件犯罪嫌疑人的聘请，为其提供法律咨询，代理申诉、控告，申请取保候审，接受犯罪嫌疑人、被告人的委托或者人民法院的指定，担任辩护人，接受自诉案件自诉人、公诉案件被害人或者其近亲属的委托，担任代理人，参加诉讼；（四）代理各类诉讼案件的申诉；（五）接受当事人的委托，参加调解、仲裁活动；（六）接受非诉讼法律事务当事人的委托，提供法律服务；（七）解答有关法律的询问、代写诉讼文书和有关法律事务的其他文书。

没有非法律诉讼这个词，既然是诉讼了怎么能不按照法律呢？

你要说的应该是非诉讼法律，一般包括以下内容：
代办专利、商标注册
财产投保、请求保险赔偿金等
财产租赁、抵押、赠与、信托、寄售等
代办股票、债券的发行、认购
代理参加企业的歇业、破产清算事务
出具法律意见书或建议书
接受公民或法人的申请，进行律师见证
代理调解、仲裁、行政复议