请证明三维欧氏空间度规张量I是旋转不变张量。

代表任意时空变换(即洛伦兹变换不再限制在平直空间).
在深入讨论爱因斯坦引力理论以前,让我们先来回忆一下经典物理学
基础中的空间概念.在那里,三维空间直观上被当作是欧氏空间(即"平
直的"),而时间是绝对的.甚至当时间与空间合并成狭义相对论中的四
维空间时,这四维空间依然是平直的(或是赝欧几里得的,因为在
ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2中的符号不同).在经典动力学中,为了描述平
直时空中的行星(和其他)运动,设定一个引力场是必需的;因为若无各
种引力,运动就将直线进行.这就是牛顿理论.
爱因斯坦提出了一个新观点.为了代替欧氏空间是物理空间这一先
验假定,爱因斯坦提出,物理空间不是一种抽象空间,而是受物质(能
量)所制约的,即物理空间有一种为度规张量gμν所规定的几何,它本
身受宇宙中物质(能量)的分布所支配.这种几何学可以说已经包含了物
质分布的性质,而且空间在微分(或仿射)几何学的意义上是被弯曲了的.
在这种空间中的自由运动就取代了"在欧氏空间中的引力场中的运
动".

按照不变张量的定义.写出来R^T *I*R=I. 就是3D下正交变换的定义.狭义相对论条件下,$\eta^\mu{}\nu$ 也是这样.按照Lorentz 变换的定义, 任意矢量的标积应该是个不变量 写出来就是\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta\eta^{\alpha\beta}=\eta^{\mu\nu}. 这个公式换个角度看就是$\eta^\mu{}\nu$在Lorentz 变换下保持不变. 另外一个常见的不变张量是相应维度的全反对称张量, 从Lorentz变换的行列式可以理解证明.