高分问题（初等）

先建立数学模型：

设N台机床分别位于点A1,A2,…,AN，顺序排列在直线L上
设需要建立零件供应站位于点B
题目即求使得|A1B|＋|A2B|＋…＋|ANB|最小的点B

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然后分析：

1. B必须在L上
否则，令B在L上的投影为B1，则对任意Ai(i=1,2,…,N)，有|AiB1|<|AiB|
于是|A1B1|＋|A2B1|＋…＋|ANB1|<|A1B|＋|A2B|＋…＋|ANB|
此时B就不满足最小要求

2. 对于任意两点Ai,Aj，存在如下结论：
当B位于线段AiAj之内(含端点)时，|AiB|＋|AjB|＝|AiAj|
当B位于线段AiAj之外时，|AiB|＋|AjB|>|AiAj|
所以，无论B位于L上什么位置，总有|AiB|＋|AjB|≥|AiAj|

3. 对和式|A1B|＋|A2B|＋…＋|ANB|进行如下分组：
|A1B|＋|A2B|＋…＋|ANB|＝(|A1B|＋|ANB|)＋(|A2B|＋|A(N-1)B|)＋……
其实就是最边上的两个一组，次边上的两个一组，……
当N为偶数，正好分完
当N为奇数，中间还剩下一个|A((N+1)/2)B|

4. 得到B的位置
由前面的结论，有
|A1B|＋|A2B|＋…＋|ANB|≥|A1AN|＋|A2A(N-1)|＋……
当且仅当
|A1B|＋|ANB|＝|A1AN|，|A2B|＋|A(N-1)B|＝|A2A(N-1)|，……
时取等号。
此时B位于线段A1AN,A2A(N-1),…上
当N为偶数时，B位于以最中间的两个点为端点的线段上
当N为奇数时，还剩一个|A((N+1)/2)B|，|A((N+1)/2)B|＝0时，B位于最中间的一个点A((N+1)/2)上

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最后得出结论：
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