ABCD是一个边长为1的正方形,U,V分别是AB,CD上的点.AV与DU相交于点P.BV与CU相交于点Q,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 16:02:49
ABCD是一个边长为1的正方形,U,V分别是AB,CD上的点.AV与DU相交于点P.BV与CU相交于点Q,求四边形PUQV的面积的最大值.

解：连接UV，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
根据等底等高的三角形的面积相等得到：S△APD=S△UVP，S△QUV=S△BQC，
∴S四边形PUQV=S△APD+S△BQC，
过P做PE⊥AD于E，过Q做QF⊥BC于F，
设：PE=x，QF=y，
∴S四边形PUQV=1/2（x+y），
设AU=a，DV=b，
则x/a+x/b=DE+AE=1，
故x=ab/a+b，
同理y=(1-a)(1-b)/(1-a)+(1-b)=(1-a)(1-b)/2-a-b，
∴S四边形PUQV=1/2[ab/a+b+(1-a)(1-b)/2-a-b]，
=(a+b)-(a2+b2)2(a+b)(2-a-b)
=2(a+b)-a2-b2-(a2+b2)/4(a+b)(2-a-b)≤2(a+b)-a2-b2-2ab/4(a+b)(2-a-b)=(a+b)(2-a-b)/4(a+b)(2-a-b)=1/4（因为（a-b）2≥0）2+b，
等号当且仅当a=b时成立，
故四边形PUQV面积最大值是1/4．
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