（1+2+3分之1）＋（1＋2＋3＋4分1）＋～～～～（1＋2＋3＋4＋～～～～＋2000分之1）

原式=1/6+1/10+....+2/(2000*2001)
=2*[1/12+1/20+....+1/(2000*2001)]
=2*(1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6)+....+1/(2000*2001)]
=2*(1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+....+1/2000-1/2001)
=2*(1/3-1/2001)
=2*(666/2001)
=444/667

利用了你应该学过的公式.

1+2+3+......+n=n(n+1)/2
原式=2/(3*4)+2/(4*5)+.......+2/(2000*2001)
=2[(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+......+(1/2000-1/2001)]
=2(1/3-1/2001)
=444/667