会洛朗级数的来(复数)

这种题，千万不要直接求导数或留数，因为那样会把你累死的。一般用间接法，考虑一些基本的级数。

题目中给出了和函数的收敛域，0<|z|<1，而分子中又有(1-z)这样的因子，应该想到使用等比级数1/(1-z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ... （*）

记X(z) = 1/[z(1-z)^2]，于是zX(z) = 1/(1-z)^2，记为Y(z)。

1/(1-z)的导数恰为1/(1-z)^2，而1/(1-z)的Laurent级数就是Taylor级数，所以可以逐项微分，所以将（*）式逐项微分就得到

Y(z) = 1 + 2z + 3z^2 + 4z^3 + ...

于是X(z) = Y(z)/z = 1/z + 2 + 3z + 4z^2 + 5z^3 + ...

收敛区域为0<|z|<1，因为逐项求导是不改变收敛半径的。

这里还有一个副产品，就是求得了X(z)在复平面坐标原点处的留数：即Res(X(z), z=0) = 1。因为它就等于X(z)的Laurent展开的1/z项系数。