forget后面用动词什么形

要看具体的情况了
如果是关了 忘了已经关了这个事实我们就用 forget closing ，
forget doing 表示忘记做过某事，你自己做过了但是忘了已经做过了

如果是没有关 忘了去关就应该用 forget to close ，

forget to do 表示忘记去做某事

forget后面可用动词不定式或动名词(-ing),所以你的答案应是:
forget to close... 表示忘记去关
forget closing... 表示忘记关过

以下是词典里的两句话,你可作参考:
She forgot to post the letter.
她忘记寄这封信了。
I'll never forget meeting my school headmaster for the first time.
我永远忘不了和我小学校长初次见面的情景。

forget doing sth 指忘记做过某事（做过了，却不记得了）
forget to do sth 指忘记去做某事（这件事还没做，忘记做了）

按实际的情况来填closing或to close

有两种可能，第一是to close--表示忘记去关；第二是closing--表示忘记关过。要根据具体的情况来选择。

forget to close
forget closed