把别人的宠物鸟放了，该承担怎样的法律后果？

他正在对你们的相邻权造成侵害，可以通过法律途径解决。
如果把他的鸟放了，那你就是故意侵害他人财产，就要赔偿他的损失了。
再教你个坏坏的方法，不如做个弹弓，一击毙命，或逮个毛虫，注射进敌敌畏之类的毒药扔到笼子里，一下药倒。当然要没人看见，他找不出证据是你干的，也就不能要求你赔偿。
因为我也讨厌这样的邻居，呵呵。
按你的要求补充一下：《民法通则》关于相邻权的规定：“不动产相邻各方，应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的精神，正确处理截水、排水、通行、通风、采光等方面的相邻关系。给相邻方造成妨碍或损失的，应当停止侵害，排除妨碍，赔偿损失”。

要赔偿他的损失

民事关系，责任也是民事责任。
就是赔偿对方的实际损失，你最好先搞清楚这东西值多少钱。

其实，你可以考虑以扰民为由报警，或者考虑以相邻关系侵权为由起诉。

是不是可以通过当地的派出所解决一下呢?要是实在没办法,那又不是什么特别名贵的鸟的话,就下手吧!顶多是民事赔偿.不会有什么刑事责任的.

这里面如果你真的把它给放了的话，你只要赔偿就可以了，不过你还是不能阻止他再买，是吧。
我认为你还是找当地的派出所管理这事吧，就以扰民，好像也不行，派出所可能不会管
我认为你应该以一个平和的心去看待这件事。你也可以从一种欣赏的角度，你就不会烦了。

如果你真的把他的鸟放了，实在划不来，你既要赔偿他的损失，在处理邻里关系时又不是明智的做法。
建议：1、通过协商办法解决，发生邻里纠纷，多处于民事法律调整的范畴，依据我国民法通则的立法精神，可通过双方或多方协商进行解决，想想通过和邻居的和平协商，晓之以理，动之以情，大多都可得到解决。
2、通过当地街道办事处（所在辖区为居民委员会）调解。
3、到当地派出所以自己正常生产，生活和学习被困扰为由请求行政部门解决。
4、实在解决不了，也只有到法院以自己的权益（具体为《民法通则》关于相邻权的规定）为由提起民事诉讼。